A Microeconomia dos Álbuns de Figurinhas da Copa (e outras curiosidades da copa)

Olá caros leitores, quanto tempo! Pois bem, hoje é o dia da grande final da copa do mundo de futebol de 2014 (e também o dia mundial do Rock). Fora a grande decepção com a nossa seleção, a copa esteve boa, bons jogos e uma excepcional média de gols (veja dados atualizados abaixo). Não tenho nenhum palpite forte para o jogo de hoje, penso que a Alemanha tem o melhor conjunto, mas a Argentina pode decidir em um pequeno lance e se sagrar campeã, e ninguém poderia dizer que isso seria desmerecido. Pois bem, mas meu assunto principal de hoje é outro e não está particularmente associado com o que acontece dentro das quatro linhas, mas sim fora dela, mais precisamente, dentro das páginas dos albúns de cromos da copa.

Para quem quiser saber detalhes da pré-produção, recomendo essa interessante matéria do Jornal Estadão (de onde tirei a excelente figura ao lado, sem autoria publicada).* Ou então essa excelente matéria da The Economist que tirou as ideias da minha cabeça e está em melhor sintonia com o tema deste post.** Eu mesmo não estou colecionando as figurinhas, mas conversando com amigos e ajudando familiares fiquei intrigado com alguns aspectos dessa atividade econômica. O primeiro deles é o quanto é difícil a tarefa de completar o álbum. Os ganhos com a atividade são marginais, pense comigo, começar o álbum é muito fácil, sabendo-se que um pacote com 5 figurinhas nunca tem figurinhas repetidas, com um álbum novinho, todas aquelas figurinhas de jogadores encontraram lugar e ficamos felizes com o desenvolvimento da tarefa. Porém, a medida que completamos mais e mais o álbum, aparecem cada vez mais figurinhas, e a repetição se torna inevitável e a troca desesperadoramente urgente. Ou seja, como toda criança já sabe, fazer um álbum de figurinhas requer um puta networking.

Ora, um economista fica sempre fica admirado com essas possibilidades de troca. Em particular, eu estava intrigado em tentar descrever que tipo de funções pode descrever esse tipo especial de preferências. Minha linha de raciocínio estava em cima do fato, de que após encontrar a carta procurada (digamos que a figurinha do Messi, por exemplo), o colecionador se sente plenamente saciado daquele bem (a tal carta) e tirar o mesmo cromo novamente se torna relativamente um fardo, não acrescentando nenhuma utilidade... a não ser, é claro, a não ser que essa carta tenha utilidade pela troca. Então, uma carta que já se tem se torna desejada apenas pelo fato de se poder trocá-la por cromos que ainda não se possui. Isso é evidente, mas voltaremos mais a isso adiante, antes vamos tentar entender um pouco a matemática do problema.

Vejamos, suponha, por simplificação, um álbum com apenas 10 figurinhas para completar: A, B, ... , J. Uma pergunta que se pode fazer é: Qual o número mínimo de pacotes é necessário comprar para completar o álbum?

- Sabendo-se que cada pacote possui 5 figurinhas é fácil concluir que com sorte dois pacotes seriam suficientes. Um pacote com A, B, C, D, E e outro com F, G, H, I, J. Ou qualquer dois pacotes com uma permutação entre estes dois primeiros.

Porém a situação acima só ocorre com algum golpe de sorte, pois, nesse caso, existem 252 pacotinhos (sem figurinhas repetidas em cada) possíveis de serem obtidos (10!/5!*(10-5)!). O primeiro que se tira é sempre certo, chance de 100% de se encontrar lugar para todas as figurinhas. O segundo pacote deve ser único para completar o álbum, por exemplo, caso você tenha tirado as figurinhas B, D, F, G, I, o único pacote que o permitirá completar o álbum na segunda tentativa é o A, C, E, H, J. Ou seja, sua chance de completar na segunda chande é de 1/251, ou seja, 0,4%. Porém, com apenas 5 pacotes a pessoa pode ter mais de 50% de completar o álbum nesse caso, e comprando 10 pacotes a chance de completar o álbum é de 99%.

Porém, o álbum real da Copa possui 640 figurinhas! Nesse caso, caso um jogador queira completar o álbum sozinho, sem ajuda das trocas, terá de comprar, em média, 873 pacotes, ou seja gastar R$ 873,00 para completar o álbum sozinho ou R$ 1361,02 para ter 99% de chance de completar o álbum. Conta parecida com aquela dos matemáticos da revista The Economist (coloquei minhas rotinas do R nos comentários).

Agora passemos para um raciocínio mais microeconômico sobre as trocas. Para facilitar esse raciocínio imagine um álbum em que objetivo seja obter 2 figurinhas X e 2 figurinhas Y, ou seja, completar XX e YY. Suponha ainda que os pacotes venham com 4 unidades, podendo ser repetidas de qualquer maneira. Sendo assim, suponha que o colecionador compre um pacote com 4 de X (XXXX) e o colecionador tirou um pacote com uma figurinha de X e 3 de Y (XYYY).

Essa economia tem 5 Xs quando precisaria de apenas de 4 para esgotar o mercado. Em contrapartida possui apenas 3 Ys quando na verdade precisaria de 4 para satisfazer o mercado. Assim trocas que esgotem o mercado não são possíveis. Ainda assim, o primeiro colecionador pode trocar um de seus X excedentes por um dos Y excedentes do seu colega. O colecionador 2 conseguirá satisfazer seu álbum (XXYY) enquanto que o 1 ficará um pouco melhor com (XXXY) ao invés da situação anterior. Há um excedente de uma figura X nesse mercado.

Na figura abaixo apresento uma caixa de Edgeworth transformada para mostrar essa situação inicial e após as trocas. As linhas retas em preto assinalam o ponto de saciedade para cada colecionador (que é possuir dois de cada um dos cromos):

Figura 1 - Caixa de Edgeworth simplificada com a situação Inicial antes das trocas.

Após o colecionador 1 trocar uma de suas X por uma Y do colecionador 2, a situação se torna a abaixo exemplificada. O colecionador 2 atinge seu ponto de saciedade e o colecionador 1 fica um pouco melhor do que a situação inicial.*** Além do ponto desenhado abaixo precisamos supor que não existem mais curvas de indiferença para o colecionador 2. O colecionador 1 ainda deseja melhorar sua situação, mas ele não pode mais fazer trocas com 2, que já está esgotado.

Figura 2 - Caixa de Edgeworth simplificada com a situação após as trocas.

O colecionador 1 tem de encontrar algum outro colecionador com 'XYYY', por exemplo, para trocar e assim completar o mercado. Ou seja, quanto mais participantes nesse mercado, melhor para quem está com um álbum de figurinhas desbalanceado como o colecionador 1. Um modelo mais complexo para as trocas de figurinhas da copa seria o que acrescentasse um custo de se encontrar novos colecionadores, isso colocaria algum 'atrito' nas trocas. E ajudaria a explicar ainda mais porque é tão difícil completar um álbum e ainda mostraria a importância dos custos de transação, que muitas das vezes o mercado realizar uma alocação perfeita.

E agora uma informação de utilidade pública. A copa de 2014 teve uma média de 2,67 gols por partida (não contando pênaltis). O jogo do Brasil x Alemanha, que teve 8 gols e possui um impacto significativo no resultado final (elevando a média em 0,08), ou seja, sem essa partida não igualaríamos a média de gols por partida de 1998. A copa do Brasil reverteu uma tendência declinante vista desde 94, Vamos acompanhar para ver se a média de gols no futebol continua apresentando a oscilação em torno da média de 2,59 das últimas 13 edições. O gráfico abaixo foi atualizado de acordo com os dados da FIFA que baixei em posts anteriores (aqui e aqui) e minhas anotações na última copa.****

Outra informação de utilidade pública para você que ainda não completou o álbum, ainda é possível completá-lo. A venda de figurinhas continua até setembro, e a Panini coloca em algum lugar do álbum que é possível comprar diretamente por correio figurinhas faltantes. Bom, é isso, abraços e boa Final a todos.

Ah sim! Uma última curiosidade: estive intrigado por saber porque o brasão oficial da seleção inglesa não aparecia no álbum de figurinhas, assim como os jogadores não apareciam vestindo a camisa oficial da seleção. Eis aqui o motivo disso.

* Estou sem meus aparatos para fazer um desenho autoral, assim que for possível, tento upar um desenho meu :-)
** Devo a recomendação desta matéria ao amigo Alan André Borges da Costa, com o qual comentei minhas aflições microeconômicas com o tema =D
*** Outra troca possível, que deixaria o colecionador 2 indiferente pela função que representei, seria o colecionador 1 dar uma de suas cartas X, mas ganhar duas cartas Y em troca do colecionador 2. Isso faria o colecionador completar o álbum e o 2 ficar ainda indiferente. Porém podemos imaginar que 2 não aceitará essa troca (pode-se especificar uma função de utilidade um pouco diferente, mais "apertada"). Repare que não precisamos igualar as TMS nesse exercício dado que estamos interessado nos pontos de saciedade.
**** Dados atualizados após a final.

As medalhas e as preferências lexicográficas

Um dos tópicos de estudo da microeconomia na teoria do consumidor é o das preferências lexicográficas, são assim chamadas porque derivam de "lexico", que é o conjunto de todas as palavras de uma determinada língua. E lexicografia é a técnica de composição de um dicionário. Em nossa cultura greco-romana, um dicionário é composto pela ordem das palavras de acordo com o Abecedário do tipo {A, B, C, ..., Z}, ele determina as preferências de ordem em um dicionário: primeiro sempre o 'A', depois o 'B', em seguida o 'C' e assim por diante... Um dicionário, portanto, obedece uma ordem estrita onde qualquer palavra que comece com 'A', não importa quão importante ou desimportante ela seja no nosso uso cotidiano, deve sempre vir antes de uma palavra que comece com 'B'.

Dessa maneira, algumas preferências do dia a dia podem ser lexicográficas. Digamos que você prefira sempre chocolates à goiabada. Sendo assim, supondo preferências lexicográficas, em uma situação de escolha entre muita goiabada, e qualquer quantidade de chocolate (mesmo que mínima), você sempre preferirá o chocolate. Mesmo que seja uma lata de 500g de goiabada versus um bombom de chocolate de apenas 30g. Não quer dizer que você não goste de goiabada, mas simplesmente que diante da escolha, você irá preferir sempre o chocolate.

Depois de esgotado todo o chocolate que você puder obter, você poderá passar à goiabada. E talvez depois da goiabada, às balas de iogurte, se assim for sua preferência.

Muitas vezes, os alunos acham essas preferências pouco factíveis, ou muito difíceis de serem visualizadas ou interpretadas. Elas não podem ser representadas graficamente pelas curvas de isoutilidade. Isoutilidades para as preferências lexicográficas seriam, quando possíveis, representadas por um único ponto e não como uma reta ou curva como é usual. Mas, na verdade, preferências lexicográficas podem ser mais comuns do que imaginamos. Esse tipo de preferência aparece sempre quando preferimos que uma coisa seja feita primeiro, ou quando temos uma preferência categórica sobre determinado bem ou atitude. Podemos pensar que preferimos primeiro "comer" e depois "escovar os dentes", isso é uma preferência lexicográfica para determinadas janelas de horários do dia. Se você encara "comer" e "escovar os dentes" como substitutos, você deve ser um cara meio estranho, e de outra forma, escovar os dentes primeiro e comer depois não parece ser uma preferência lexicográfica muito plausível, embora há os que prefiram a seguinte ordem: "escovar", "comer" e "escovar".  De outra forma, para um dia inteiro, pode-se encarar essas atividades como complementares perfeitos, mas para pequenos períodos, você consideraria que a ordem entre essas duas coisas importa.

Entretanto, o exemplo acima pode ainda não esclarecer totalmente esse tipo de preferências, ele mistura saciedade, curtos horários de tempo, e alguns outros fatores que se tem que controlar para que seja de fato uma preferência lexicográfica antes do ponto de saciedade. Então, o exemplo que mais gosto de usar é o do quadro de medalhas de uma olimpíada. Vejamos a seguinte situação final do quadro de medalhas das olimpíadas de Londres:

__. País_______O P B T

50. Venezuela_ 1 0 0 1
55. Índia_____ 0 2 4 6
56. Mongólia _ 0 2 3 5

57. Tailândia_ 0 2 1 3

58. Egito_____ 0 2 0 2

59. Eslováquia 0 1 3 4

Pela hierarquia de classificação usual do quadro de medalhas das olimpíadas, as medalhas de ouro sempre são preferíveis a qualquer medalha de prata, e é por isso que a Venezuela com uma medalha de ouro está a frente da Tailândia com 2 medalhas de prata e 1 de Bronze (3 no total). Até o último dia das olimpíadas, Venezuela estava na frente de Colômbia e México (que ainda não tinham tido suas medalhas de ouro, o México inclusive ganhando do Brasil na final do futebol). Mas quantas medalhas de prata ou de bronze valem uma medalha de ouro? Ou seja, existe preço para trocar uma medalha de ouro por algumas de prata?

- Não. A tendência seria dizer que o preço da medalha de ouro em termos de medalha de prata é infinito. 

Não há nada que possa tirar a Índia (que possui um total de seis medalhas) debaixo da Venezuela, a não ser uma medalha de ouro. Caso a Índia consiga uma medalha de ouro, ela pularia para a posição 41, logo abaixo do México e acima da Irlanda (salto significativo). Essa relação hierárquica muitas vezes parece férrea demais. Nas olimpíadas de Pequim em 2008 um fato curioso ilustra essa percepção. Naquelas olimpíadas, a China ficou à frente no quadro de medalhas durante quase todo o evento e terminou as olimpíadas em primeiro superando os Estados Unidos. No entanto, os Estados Unidos terminaram com 10 medalhas a mais. A certa altura das olimpíadas, alguns noticiários de esportes norte-americanos passaram a divulgar o quadro de medalhas pelo seu total de medalhas e não pelo número de medalhas de ouro, seguido pelas de prata e de bronze. Tal atitude foi duramente criticada, mas o que eles queriam ressaltar é que os EUA tinham 10 medalhas a mais. Isso se aplica também ao Brasil que tem mais medalhas do que a Jamaica, porém a jamaica tem 4 ouros, 4 pratas e 4 bronzes (12 medalhas). O Brasil com 3 ouros, 5 pratas e 9 bronzes (17 no total) passaria a Jamaica se ganhasse mais um ouro.

Somar o total de medalhas equivale a dizer que todas as medalhas são substitutas perfeitas, ou seja, uma medalha de bronze vale o mesmo tanto que uma medalha de ouro. Isso parece forçado, e induz a pensar que não há mérito dos primeiros colocados em seu esforço. Na final da partida de futebol de Brasil e México, por exemplo, isso faria com que os dois times não oferecessem confronto caso estivessem pensando no quadro geral de medalhas pelo total, pois a de prata equivaleria a de ouro. Por outro lado, uma pontuação dessa forma (pela soma) leva em conta que não é fácil para qualquer atleta ganhar o bronze. Estar nas olimpíadas já é para poucos, ganhar medalha é apenas para a nata do esporte. Um quadro pelo total de medalhas valoriza isso, e caso fosse assim, nessas olimpíadas nos teríamos a seguinte colocação para os 20 primeiros:*

__. País_______O _P _B _T

_01. E.U.A.____ 46 29 29 104

02. China_____ 38 27 23 88

03. Russia____ 24 26 32 82

04. Grã Bretanh29 17 19 65

05. Alemanha___11 19 14 44

06. Japão______ 7 14 17 38

07. Austrália__ 7 16 12 35

08. França_____11_11 12 34

09. Coréia Sul_13_ 8_ 7 28

__. Itália_____ 8_ 9_11 28

11. Holanda____ 6_ 6_ 8 20

__. Ucrânia____ 6_ 5_ 9 20
13. Canadá_____ 1_ 5 12 18

14. Brasil_____ 3_ 5_ 9 17
__. Espanha____ 3_10_ 4 17
__. Hungria____ 8_ 4_ 5 17

17. Cuba_______ 5_ 3_ 6 14
18. Cazaquistão 7_ 1_ 5 13

__. Nova Zelând 6_ 2_ 5 13

20. Bielorrúsia 2_ 5_ 5 12

__. Irã________ 4_ 5_ 3 12

__. Jamaica____ 4_ 4_ 4 12

O resultado acima é interessante, ele traz a Rússia acima da Grã Bretanha, por exemplo, com uma diferença considerável de 17 medalhas a mais. Essa é uma classificação que também favorece o Brasil no quadro geral que salta de 22º para 14º. A classificação que lida com as medalhas como se fossem substitutas tem um valor para os países ao comparar as olimpíadas em retrospecto. A não ser para casos em que um determinado competidor sobra em relação aos demais, tipo o Usain Bolt dos 100m e 200m rasos ou a russa Yelena Isinbayeva do salto com vara, ou o próprio norte-americano recordista Michael Phelps da natação (ou ainda a seleção hors concours do Basquete dos EUA), as competições pelo pódio são muito disputadas. Ou seja, o medalhista de bronze poderia muito bem ter ganho o Ouro. O total de medalhas é importante para ver se um país esta aumentando suas chances em relação às olimpíadas anteriores, e também muito útil para ver sobre a política de esportes de uma determinada nação, tal como os difundidos quadros de medalhas percapita.

Nós brasileiros temos de estar muito felizes com as medalhas de bronze que os atletas conseguem, elas parecem ser o suporte de um número de medalhas maior e cada vez mais consistente. Acredito que o Brasil possui uma vocação para os esportes, mas os incentivos sempre foram muito parcos. E falando isso não jogo a culpa apenas sobre as confederações de esportes e o Governo, mas também nos arranjos privados dos negócios de esportes no Brasil. Arranjos que conseguem se descolar do futebol apenas recentemente (de alguns anos pra cá, o vôlei já de algumas décadas, é verdade). A tendência para o total de medalhas do Brasil é crescente. Segue aí um gráfico com as medalhas do final das olimpíadas (No total de medalhas o Brasil superou todas suas olimpíadas anteriores ultrapassando a melhor marca de 15 medalhas).

Mas esse não seria um blog de um microeconomista se eu não dissesse que entre as preferências rígidas da maneira Lexicográfica de se ordenar as medalhas e a forma pouco exigente de encará-las todas como substitutas, há duas soluções intermediárias: 1) A primeira delas é encarar as medalhas como substitutas perfeitas, pero no mucho. Poderíamos propor um sistema de contagem em que uma medalha de Ouro vale 3 de Bronze e a de Prata vale 2. Dessa maneira, teremos a seguinte forma de contabilizar a pontuação total:

Total* = 3x(Ouros) + 2x(Pratas) + 1x(Bronzes)

A classificação final do Quadro seria:

__. País_______O _P _B _T*

01. E.U.A.____ 46 29 29 225

02. China_____ 38 27 23 191

03. Rússia____ 24 26 32 156

04. Grã Bretanh29 17 19 140
05. Alemanha___11 19 14 85_

06. França_____11_11 12 67_
07. Japão______ 7 14 17 66_

08. Austrália__ 7 16 12 65_

09. Coréia Sul_13_ 8_ 7 62_

10. Itália_____ 8_ 9_11 53_

11. Holanda____ 6_ 6_ 8 38_
12. Ucrânia____ 6_ 5_ 9 37_

__. Hungria____ 8_ 4_ 5 37_

14. Espanha____ 3_10_ 4 33_

15. Brasil_____ 3_ 5_ 9 28_
__. Cazaquistão 7_ 1_ 5 28_

17. Cuba_______ 5_ 3_ 6 27_
__. Nova Zelând 6_ 2_ 5 27_

19. Canadá_____ 1_ 5 12 25_

__. Irã________ 4_ 5_ 3 25_

20. Jamaica____ 4_ 4_ 4 24_

A maneira explicitada acima ainda é de substitutos perfeitos, agora não na proporção de igual para igual, mas em uma proporção 3-2-1. 

2) A segunda maneira de classificarmos por medalhas advém de uma das formas funcionais mais flexíveis da microeconomia, a CES (Constant Elasticity Substitution). Primeiramente pensei em usar uma Cobb-Douglas, que é ainda mais simples do que a CES, porém, ela não lidaria bem em casos de países que possuem apenas uma medalha. A CES é mais geral e flexível e não possui esse problema. Uma possível CES que podemos utilizar seria:

TotalCES = [(1/2)x(Ouros)^£ + (1/3)x(Pratas)^£ + (1/6)x(Bronzes)^£]^(1/£)

A função acima é relativamente simples, o sinal de £ é uma transformação da elasticidade de substituição dos Bens,  e = 1/(1-£). Onde e é a elasticidade de substituição entre as medalhas. Quando £ = 1, teremos que a função CES acima é igual a pontuação ponderada sugerida na equação anterior, e dessa forma vemos também que e = £, isso é, a substituição de uma de 3 medalhas de bronze por uma de ouro é total, uma cotação um pouco diferente disso, por exemplo se os concidadãos de um país acreditassem que uma medalha de ouro vale 4 de bronze, os levariam a desejar ter todas as medalhas em ouro. De outra maneira, quando £ = 0, nós temos uma função do tipo Cobb-Douglas e então a substituição manteria-se constante, não importando a relação de "preços".

Finalmente, com um £ = 0,8, o ranking de países por esse método não seria muito diferente da tabela acima apresentada, teríamos uma substituição da posição de alguns países. Quando £ = 1, a classificação seria rigorosamente a mesma da tabela ponderada acima. Os valores de £ podem variar, mas aderem bastante a ponderação utilizada. E por fim, pode se pensar que a ponderação final poderia ser muito bem outra diferente da sugerida, 4-2-1 ao invés de 3-2-1.

Com tudo isso, vai aqui a minha sugestão de divulgação de um quadro de medalhas ponderado, ele é simples e intuitivo e não tão forte quanto o caso lexicográfico a seguir:

__. País_______O P_ B T

01. Pais Alpha 1 0_ 0 1

__51. País Beta_ 0 50 0 50_

As 50 medalhas de prata de um hipotético pais de Beta não valem uma das medalhas de ouro de Alpha. É claro que isso não se manifesta com essa discrepância nas olimpíadas, mas casos também fortes costumam a ocorrer. Um deles é o México que já comentamos, e no caso de Sidney, em 2000, o quadro foi bastante duro para o Brasil, que não conseguiu nenhuma medalha de ouro, embora tenha se saído bem no caso das outras medalhas. Ouvi na rádio recentemente que o comitê olímpico não estimula a divulgação de um quadro de medalhas, isso para não estimular comportamentos anti-esportivos como estes, e como forma de preservar o espírito olímpico. Acho que eles estão certos, mas se a comparação é inevitável, por que não usarmos de uma forma mais ponderada?

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* Esse post foi atualizado em 01/10/2012 de maneira a incluir os dados finais de medalhas das olimpíadas de Londres 2012.